爆头率和条件概率艺术

趣味的CS统计学

客观严谨的爆头击杀概率论证

1. 假设与定义

我们首先明确问题中的各项设定：

玩家初始生命值 (HP): $L = 100$
武器 AK:
- AK 爆头伤害 ($D_{AK,H}$): $100$
- AK 身体伤害 ($D_{AK,B}$): $27$
武器 M4:
- M4 爆头伤害 ($D_{M4,H}$): $89$
- M4 身体伤害 ($D_{M4,B}$): $24$
单发子弹击中头部的概率: $P$
单发子弹击中身体的概率: $1-P$
爆头击杀结算规则: 只考虑造成玩家死亡 (血量 $\le 0$) 的最后一次击中的部位。如果最后一次击中是头部，则判定为爆头击杀。

我们的目标是计算大规模交战中观测到的爆头造成死亡的概率 $P_{HS,obs}$。

2. 核心分析方法

为了计算观测到的爆头击杀概率 $P_{HS,obs}$，我们需要考虑所有导致击杀的事件，并区分其最后一击的部位。

设 $E_{Kill}$ 为发生击杀的事件。

设 $E_{LastHead}$ 为导致击杀的最后一击是头部的事件。

设 $E_{LastBody}$ 为导致击杀的最后一击是身体的事件。

根据问题定义，观测到的爆头击杀概率为：

$$P_{HS,obs} = P(E_{LastHead} | E_{Kill}) = \frac{P(E_{LastHead} \cap E_{Kill})}{P(E_{Kill})}$$

由于 $E_{Kill} = E_{LastHead} \cup E_{LastBody}$ 且 $E_{LastHead} \cap E_{LastBody} = \emptyset$ (最后一击要么是头要么是身体，不可能同时是两者)，因此 $P(E_{Kill}) = P(E_{LastHead} \cap E_{Kill}) + P(E_{LastBody} \cap E_{Kill})$.

所以，

$$P_{HS,obs} = \frac{P(E_{LastHead} \cap E_{Kill})}{P(E_{LastHead} \cap E_{Kill}) + P(E_{LastBody} \cap E_{Kill})}$$

我们将分别对 AK 和 M4 进行分析，因为它们的伤害特性截然不同。

3. AK 武器的爆头击杀概率分析

AK 伤害特性: $D_{AK,H} = 100$, $D_{AK,B} = 27$。玩家 HP $L = 100$。

3.1. 关键考量

尽管 AK 头部伤害为 $100$，可以一击秒杀满血目标，但我们仍需按照"最后一击部位"来判定击杀类型。在大规模交战中，一个目标可能并非满血，或者被多次命中。

我们采用与 M4 相同的统计学近似：假设在任何单发子弹命中前的瞬间，目标剩余生命值 $HP_{rem}$ 在 $(0, L]$ 范围内是均匀分布的。

3.2. 爆头作为最后一击并导致击杀 ($E_{LastHead} \cap E_{Kill}$):

发生概率：该子弹命中头部，概率为 $P$。
击杀条件：在这一击命中前，目标的剩余生命值 $HP_{rem}$ 必须在 $(0, D_{AK,H}]$ 范围内，即 $(0, 100]$。
在剩余生命值均匀分布的假设下，一发爆头"能击杀"的条件概率为 $\frac{D_{AK,H}}{L} = \frac{100}{100} = 1$。

因此, 一发子弹命中头部并导致击杀的复合概率为：

$$ P(E_{LastHead} \cap E_{Kill}) = P \times \frac{100}{100} = P $$

3.3. 身体命中作为最后一击并导致击杀 ($E_{LastBody} \cap E_{Kill}$):

发生概率：该子弹命中身体，概率为 $1-P$。
击杀条件：在这一击命中前，目标的剩余生命值 $HP_{rem}$ 必须在 $(0, D_{AK,B}]$ 范围内，即 $(0, 27]$。
在剩余生命值均匀分布的假设下，一发身体"能击杀"的条件概率为 $\frac{D_{AK,B}}{L} = \frac{27}{100}$。

因此，一发子弹命中身体并导致击杀的复合概率为：

$$ P(E_{LastBody} \cap E_{Kill}) = (1-P) \times \frac{27}{100} $$

3.4. AK 观察到的爆头击杀概率

将上述概率代入总公式：

$$P_{HS,obs}^{AK} = \frac{P}{P + (1-P) \times \frac{27}{100}}$$

分子分母同乘以 $100$:

$$P_{HS,obs}^{AK} = \frac{100P}{100P + 27(1-P)}$$ $$P_{HS,obs}^{AK} = \frac{100P}{100P + 27 - 27P}$$ $$P_{HS,obs}^{AK} = \frac{100P}{73P + 27}$$

这个公式考虑了所有可能的击杀路径，比之前的简化版本更为严谨和准确。

4. M4 武器的爆头击杀概率分析 (保持不变)

M4 伤害特性: $D_{M4,H} = 89$, $D_{M4,B} = 24$。玩家 HP $L = 100$。

4.1. 关键差异

M4 的爆头伤害为 $89$，不足以一击击杀满血目标。这意味着：

M4 不存在一击爆头击杀。
M4 的每一次命中，无论是头部还是身体，都可能不是导致最终死亡的"最后一击"。

因此，我们需要更细致地考虑"导致死亡的最后一击"的概率。

4.2. 最后一击的判定与子弹效能

我们假设在一次击杀过程中，攻击者持续用 M4 射击目标。在大规模交战中，受伤目标可能处于各种血量状态。

为了简化，我们采用一种适用于大规模交战的统计学近似方法：假设在任何单发子弹命中前的瞬间，目标剩余生命值 $HP_{rem}$ 在 $(0, L]$ 范围内是均匀分布的（这是一种工程近似，用于平均化复杂的击杀路径）。

现在我们考虑在一次射击中，如何判定其是否是导致击杀的"最后一击"，以及其部位。

M4 爆头作为最后一击并导致击杀 ($E_{LastHead} \cap E_{Kill}$):

发生概率：该子弹命中头部，概率为 $P$。
击杀条件：在这一击命中前，目标的剩余生命值 $HP_{rem}$ 必须在 $(0, D_{M4,H}]$ 范围内，即 $(0, 89]$。只有当 $HP_{rem} \le 89$ 时，这一击爆头才能导致死亡。
在剩余生命值均匀分布的假设下，一发爆头"能击杀"的条件概率为 $\frac{D_{M4,H}}{L} = \frac{89}{100}$。

因此，一发子弹命中头部并导致击杀的复合概率为：

$$ P(E_{LastHead} \cap E_{Kill}) = P \times \frac{D_{M4,H}}{L} = P \times \frac{89}{100} $$

M4 身体命中作为最后一击并导致击杀 ($E_{LastBody} \cap E_{Kill}$):

发生概率：该子弹命中身体，概率为 $1-P$。
击杀条件：在这一击命中前，目标的剩余生命值 $HP_{rem}$ 必须在 $(0, D_{M4,B}]$ 范围内，即 $(0, 24]$。只有当 $HP_{rem} \le 24$ 时，这一击身体命中才能导致死亡。
在剩余生命值均匀分布的假设下，一发身体"能击杀"的条件概率为 $\frac{D_{M4,B}}{L} = \frac{24}{100}$。

因此，一发子弹命中身体并导致击杀的复合概率为：

$$ P(E_{LastBody} \cap E_{Kill}) = (1-P) \times \frac{D_{M4,B}}{L} = (1-P) \times \frac{24}{100} $$

4.3. M4 观察到的爆头击杀概率

将上述概率代入总公式：

$$P_{HS,obs}^{M4} = \frac{P(E_{LastHead} \cap E_{Kill})}{P(E_{LastHead} \cap E_{Kill}) + P(E_{LastBody} \cap E_{Kill})}$$ $$P_{HS,obs}^{M4} = \frac{P \times \frac{89}{100}}{P \times \frac{89}{100} + (1-P) \times \frac{24}{100}}$$

分子分母同乘以 $100$:

$$P_{HS,obs}^{M4} = \frac{89P}{89P + 24(1-P)}$$ $$P_{HS,obs}^{M4} = \frac{89P}{89P + 24 - 24P}$$ $$P_{HS,obs}^{M4} = \frac{89P}{65P + 24}$$

5. 结论

我们将分别给出在仅使用 AK 或仅使用 M4 两种情况下的观察爆头击杀概率。如果在"大规模交战"中包含了两种武器，则需要引入两种武器在该交战中的击杀权重。

当击杀全部由 AK 完成时：
我们将 AK 的伤害值 $D_{AK,H}=100$ 和 $D_{AK,B}=27$ 代入通用公式，得到：
$\boxed{P_{HS,obs}^{AK} = \frac{100P}{73P + 27}}$
当击杀全部由 M4 完成时：
M4 爆头并不能一击击杀满血目标。我们基于"最后一击决定击杀类型"的规则，并假设在击杀前的瞬间目标剩余生命值在 $(0, L]$ 范围内均匀分布。

因此，观察到的爆头击杀概率 $P_{HS,obs}^{M4}$ 为：
$\boxed{P_{HS,obs}^{M4} = \frac{89P}{65P + 24}}$
当"大规模交战"同时涉及 AK 和 M4 时：
若假设 AK 造成的击杀占总击杀的比例为 $W_{AK}$，M4 占 $W_{M4}$ ($W_{AK} + W_{M4} = 1$)，则总体的观察爆头击杀概率 $P_{HS,obs}^{Total}$ 为：
$$P_{HS,obs}^{Total} = W_{AK} \cdot P_{HS,obs}^{AK} + W_{M4} \cdot P_{HS,obs}^{M4}$$ $\boxed{P_{HS,obs}^{Total} = W_{AK} \cdot \left( \frac{100P}{73P + 27} \right) + W_{M4} \cdot \left( \frac{89P}{65P + 24} \right)}$
在没有给定 $W_{AK}$ 和 $W_{M4}$ 的情况下，上述两种武器的单独计算结果即为对问题的完整解答。

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这里的 $ \Psi(\mathbf{r}, t) $ 是子弹的概率波函数，$ V(\mathbf{r}, t) $ 是一个时间-空间相关的“后坐力潜力”函数，由武器类型、玩家姿态以及隐藏的G胖（Gabe Newell）对你当日表现的“眷顾度”共同决定。$ \nabla^2 $ 为拉普拉斯算子，描述空间扩散；$ m $ 为子弹的有效质量；$ \hbar $ 为约化普朗克常数，但在这里，它代表着CS:GO独特的游戏引擎常数。

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